Trees and flowers on a billiard table

Arbres et fleurs sur une table de billard

Olga Paris-Romaskevich (1)

1 IRMAR - Institut de Recherche Mathématique de Rennes

In this work we study the dynamics of triangle tiling billiards. We unite geometric and combinatorial approaches in order to prove several conjectures. In particular, we prove the Tree Conjecture and the 4n+2 Conjecture, both stated by Baird-Smith, Davis, Fromm and Iyer. Moreover, we study the set of exceptional trajectories which is closely related to the set of minimal Arnoux-Rauzy maps and prove that all of such trajectories pass by all tiles. Finally, we prove that the arithmetic orbits of the Arnoux-Yoccoz map converge, up to rescaling, to the Rauzy fractal, as conjectured by Hooper and Weiss.

Nous étudions ici la dynamique des billards dans les pavages triangulaires périodiques. Nous réunissons des approches géométrique et combinatoire pour prouver quelques conjectures. En particulier, nous prouvons la Conjecture d'arbre et la Conjecture $4n+2$ formulées par Baird-Smith, Davis, Fromm et Iyer. Puis, nous étudions l'ensemble des trajectoires exceptionelles qui est lié à l'ensemble des applications d'Arnoux-Rauzy minimales, et nous prouvons que ces trajectoires passent par toute tuile. Finalement, nous prouvons que les orbites arithmetiques de l'application d'Arnoux-Yoccoz convergent à la fractale de Rauzy, modulo changement d'échelle, comme c'était conjecturé par Hooper et Weiss.

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]; Combinatoire [math.CO]

Olga Paris-Romaskevich. Trees and flowers on a billiard table. 2019. ⟨hal-02169195v3⟩